“鸡兔同笼”问题的N种解法讲解及练习题

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【鸡兔问题公式】

（1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：

（总脚数-每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数；

总头数-兔数=鸡数。

或者是（每只兔脚数×总头数-总脚数）÷（每只兔脚数-每只鸡脚数）=鸡数；

总头数-鸡数=兔数。

例如，“有鸡、兔共36只，它们共有脚100只，鸡、兔各是多少只？”

　　解一（100-2×36）÷（4-2）=14（只）………兔；

　　36-14=22（只）……………………………鸡。

　　解二（4×36-100）÷（4-2）=22（只）………鸡；

　　36-22=14（只）…………………………兔。

　　（答略）

（2）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用公式

　　（每只鸡脚数×总头数-脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；

　　总头数-兔数=鸡数

　　或（每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只免的脚数）=鸡数；

　　总头数-鸡数=兔数。（例略）

（3）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时，可用公式。

　　（每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；

　　总头数-兔数=鸡数。

　　或（每只兔的脚数×总头数-鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=鸡数；

　　总头数-鸡数=兔数。（例略）

（4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用下面的公式：

　　（1只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。或者是总产品数-（每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。

　　例如，“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。每生产一个合格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除15分。某工人生产了1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少个灯泡不合格？”

　　解一（4×1000-3525）÷（4+15）

　　=475÷19=25（个）

　　解二1000-（15×1000+3525）÷（4+15）

　　＝1000-18525÷19

　　=1000-975=25（个）（答略）

　　（“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”，运到完好无损者每只给运费××元，破损者不仅不给运费，还需要赔成本××元……。它的解法显然可套用上述公式。）

（5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题），可用下面的公式：

　　〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数和）+（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=鸡数；

　　〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=兔数。

　　例如，“有一些鸡和兔，共有脚44只，若将鸡数与兔数互换，则共有脚52只。鸡兔各是多少只？”

　　解〔（52+44）÷（4+2）+（52-44）÷（4-2）〕÷2

　　=20÷2=10（只）……………………………鸡

　　〔（52+44）÷（4+2）-（52-44）÷（4-2）〕÷2

　　=12÷2=6（只）…………………………兔（答略）

鸡兔同笼

目录

1总述 2假设法 3方程法  一元一次方程   二元一次方程

4抬腿法  5列表法 6详解  7详细解法

基本问题特殊算法 习题

8鸡兔同笼公式

1总述

鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头,从下面数，有94只脚。问笼中各有几只鸡和兔？

算这个有个最简单的算法。

（总脚数-总头数×鸡的脚数）÷（兔的脚数-鸡的脚数）=兔的只数

（94－35×2）÷2=12(兔子数)总头数（35）－兔子数（12）=鸡数（23）

解释：让兔子和鸡同时抬起两只脚，这样笼子里的脚就减少了头数×2只，由于鸡只有2只脚，所以笼子里只剩下兔子的两只脚，再除以2就是兔子数。虽然现实中没人鸡兔同笼。

2假设法

假设全是鸡：2×35=70（只）

鸡脚比总脚数少：94－70=24（只）

兔：24÷(4-2)=12（只）

鸡：35－12=23（只）

假设法（通俗）

假设鸡和兔子都抬起一只脚，笼中站立的脚：

94-35=59（只）

然后再抬起一只脚，这时候鸡两只脚都抬起来就摔倒了，只剩下用两只脚站立的兔子，站立脚：59-35=24（只）  兔：24÷2=12（只）   鸡：35-12=23（只）

3方程法

一元一次方程

解：设兔有x只，则鸡有(35-x）只。

4x+2(35-x)=94

4x+70-2x=94

2x=94-70

2x=24

x=24÷2

x=12

35-12=23(只）

或解：设鸡有x只，则兔有（35-x）只。

2x+4(35-x)=94

2x+140-4x=94

2x=46

x=23

35-23=12(只）

答：兔子有12只，鸡有23只。

注：通常设方程时，选择腿的只数多的动物，会在套用到其他类似鸡兔同笼的问题上，好算一些。

二元一次方程

解：设鸡有x只，兔有y只。

x+y=35

2x+4y=94

（x+y=35)×2=2x+2y=70

(2x+2y=70)-(2x+4y=94)=(2y=24)

y=12

把y=12代入（x+y=35)

x+12=35

x=35-12（只）

x=23（只）。

答：兔子有12只，鸡有23只

4抬腿法   

法一

假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起2只脚，还有94除以2=47只脚。笼子里的兔就比鸡的头数多1，这时，脚与头的总数之差47-35=12，就是兔子的只数。

法二

假如鸡与兔子都抬起两只脚，还剩下94－35×2=24只脚，这时鸡是屁股坐在地上，地上只有兔子的脚，而且每只兔子有两只脚在地上，所以有24÷2=12只兔子，就有35－12=23只鸡

5列表法

腿数

鸡（只数）

兔（只数）

6详解

中国古代《孙子算经》共三卷，成书大约在公元5世纪。这本书浅显易懂，有许多有趣的算术题，比如“鸡兔同笼”问题：

今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

题目中给出雉兔共有35只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，看作是一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，看作是一只脚，那么，兔子就成了2只脚，即把兔子都先当作两只脚的鸡。鸡兔总的脚数是35×2=70（只），比题中所说的94只要少94-70=24（只）。

现在，我们松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加2只，即70+2=72（只），再松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数又增加2，2，2，2……，一直继续下去，直至增加24，因此兔子数：24÷2=12（只），从而鸡有35-12=23（只）。

我们来总结一下这道题的解题思路：如果先假设它们全是鸡，于是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看看差多少，每差2只脚就说明有1只兔，将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔。概括起来，解鸡兔同笼题的基本关系式是：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡脚数）。类似地，也可以假设全是兔子。

我们也可以采用列方程的办法：设兔子的数量为x，鸡的数量为y

那么：x+y=35那么4x+2y=94这个算方程解出后得出：兔子有12只，鸡有23只。

7详细解法

基本问题

"鸡兔同笼"是一类有名的中国古算题。最早出现在《孙子算经》中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法--"假设法"来求解。因此很有必要学会它的解法和思路.

例1有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只

解：我们设想，每只鸡都是"金鸡独立",一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着。现在，地面上出现脚的总数的一半，·也就是

244÷2=122（只）.

在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次。因此从122减去总头数88，剩下的就是兔子头数

122-88=34（只），

有34只兔子.当然鸡就有54只。

答：有兔子34只,鸡54只。

上面的计算，可以归结为下面算式：

总脚数÷2-总头数=兔子数.总头数-兔子数=鸡数

特殊算法

上面的解法是《孙子算经》中记载的。做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2,4又是2的2倍.可是，当其他问题转化成这类问题时，"脚数"就不一定是4和2，上面的计算方法就行不通。因此，我们对这类问题给出一种一般解法.

还说例1.

如果设想88只都是兔子，那么就有4×88只脚，比244只脚多了

88×4-244=108（只）.

每只鸡比兔子少(4-2)只脚，所以共有鸡

(88×4-244)÷(4-2)=54（只）.

说明我们设想的88只"兔子"中，有54只不是兔子。而是鸡.因此可以列出公式

鸡数=（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）.

当然，我们也可以设想88只都是"鸡",那么共有脚2×88=176（只），比244只脚少了

244-176=68（只）.

每只鸡比每只兔子少(4-2)只脚，

68÷2=34（只）.

说明设想中的"鸡",有34只是兔子，也可以列出公式

兔数=（总脚数-鸡脚数×总头数）÷（兔脚数-鸡脚数）.

上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减，就知道另一个数。

假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为"假设法".

现在，拿一个具体问题来试试上面的公式。

例2红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元，两种铅笔共买了16支，花了2.80元。问红，蓝铅笔各买几支？

解：以"分"作为钱的单位.我们设想，一种"鸡"有11只脚，一种"兔子"有19只脚，它们共有16个头，280只脚。

现在已经把买铅笔问题，转化成"鸡兔同笼"问题了.利用上面算兔数公式，就有

蓝笔数=(19×16-280)÷(19-11)

=24÷8

=3（支）.

红笔数=16-3=13（支）.

答：买了13支红铅笔和3支蓝铅笔。

对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性.例2中的"脚数"19与11之和是30.我们也可以设想16只中，8只是"兔子",8只是"鸡",根据这一设想，脚数是

8×(11+19)=240（支）。

比280少40.

40÷(19-11)=5（支）。

就知道设想中的8只"鸡"应少5只，也就是"鸡"(蓝铅笔）数是3.

30×8比19×16或11×16要容易计算些。利用已知数的特殊性，靠心算来完成计算.

实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数。例如，设想16只中，"兔数"为10,"鸡数"为6，就有脚数

19×10+11×6=256.

比280少24.

24÷(19-11)=3,

就知道设想6只"鸡",要少3只。

要使设想的数，能给计算带来方便，常常取决于你的心算本领.

下面再举四个稍有难度的例子。

例3一份稿件，甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成，现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时。甲打字用了多少小时？

解：我们把这份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍数），甲每小时打30÷6=5（份），乙每小时打30÷10=3（份）.

现在把甲打字的时间看成"兔"头数，乙打字的时间看成"鸡"头数，总头数是7."兔"的脚数是5,"鸡"的脚数是3，总脚数是30，就把问题转化成"鸡兔同笼"问题了。

根据前面的公式

"兔"数=(30-3×7)÷(5-3)

=4.5,

"鸡"数=7-4.5

=2.5,

也就是甲打字用了4.5小时，乙打字用了2.5小时。

答：甲打字用了4小时30分.

例4今年是1998年，父母年龄（整数）和是78岁，兄弟的年龄和是17岁。四年后(2002年）父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时，是公元哪一年？

解：4年后，两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25，父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作"鸡"头数，弟的年龄看作"兔"头数。25是"总头数".86是"总脚数".根据公式，兄的年龄是

(25×4-86)÷(4-3)=14（岁）.

1998年，兄年龄是

14-4=10（岁）.

父年龄是

(25-14)×4-4=40（岁）.

因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄是

(40-10)÷(3-1)=15（岁）.

这是2003年。

答：公元2003年时，父年龄是兄年龄的3倍.

例5蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现在这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只？

解：因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成"8条腿"与"6条腿"两种。利用公式就可以算出8条腿的

蜘蛛数=(118-6×18)÷(8-6)

=5（只）.

因此就知道6条腿的小虫共

18-5=13（只）.

也就是蜻蜓和蝉共有13只，它们共有20对翅膀。再利用一次公式

蝉数=(13×2-20)÷(2-1)=6（只）.

因此蜻蜓数是13-6=7（只）.

答：有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉。

例6某次数学考试考五道题，全班52人参加，共做对181道题，已知每人至少做对1道题，做对1道的有7人，5道全对的有6人，做对2道和3道的人数一样多，那么做对4道的人数有多少人？

解：对2道，3道，4道题的人共有

52-7-6=39（人）.

他们共做对

181-1×7-5×6=144（道）.

由于对2道和3道题的人数一样多，我们就可以把他们看作是对2.5道题的人（(2+3)÷2=2.5).这样

兔脚数=4，鸡脚数=2.5,

总脚数=144，总头数=39.

对4道题的有

(144-2.5×39)÷(4-2.5)=31（人）.

答：做对4道题的有31人。

以例1为例有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？

以简单的X方程计算的话，我们一般用设大数为X，那么也就是设兔为X，那么鸡的只数就是总数减去鸡的只数，即（88-X）只。

解：设兔为X只。则鸡为（88-X）只。

4X+2×（88-X）=244

上列的方程解释为：兔子的脚数加上鸡的脚数，就是共有的脚数。4X就是兔子的脚数，2×（88-X）就是鸡的脚数。

4X+2×88-2X=244

2X+176=244

2X+176-176=244-176

2X=68

2X÷2=68÷2

X=34

即兔子为34只，总数是88只，则鸡：88-34=54只。

答：兔子有34只，鸡有54只。

习题一

1．龟鹤共有100个头，350只脚.龟，鹤各多少只？

2．学校有象棋，跳棋共26副，恰好可供120个学生同时进行活动。象棋2人下一副棋，跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有几副？

3．一些2分和5分的硬币，共值2.99元，其中2分硬币个数是5分硬币个数的4倍，问5分硬币有多少个？

4．某人领得工资240元，有2元，5元，10元三种人民币，共50张，其中2元与5元的张数一样多。那么2元，5元，10元各有多少张？

5．一件工程，甲单独做12天完成，乙单独做18天完成，现在甲做了若干天后，再由乙接着单独做完余下的部分，这样前后共用了16天.甲先做了多少天？

6．摩托车赛全程长281千米，全程被划分成若干个阶段，每一阶段中，有的是由一段上坡路(3千米），一段平路(4千米），一段下坡路(2千米）和一段平路(4千米）组成的；有的是由一段上坡路(3千米），一段下坡路(2千米）和一段平路(4千米）组成的。已知摩托车跑完全程后，共跑了25段上坡路.全程中包含这两种阶段各几段？

7．用1元钱买4分，8分，1角的邮票共15张，问最多可以买1角的邮票多少张？

二、"两数之差"的问题

鸡兔同笼中的总头数是"两数之和",如果把条件换成"两数之差",又应该怎样去解呢

例7买一些4分和8分的邮票，共花6元8角。已知8分的邮票比4分的邮票多40张，那么两种邮票各买了多少张？

解一：如果拿出40张8分的邮票，余下的邮票中8分与4分的张数就一样多.

(680-8×40)÷(8+4)=30（张），

这就知道，余下的邮票中，8分和4分的各有30张。

因此8分邮票有

40+30=70（张）.

答：买了8分的邮票70张，4分的邮票30张。

也可以用任意假设一个数的办法.

解二：譬如，假设有20张4分，根据条件"8分比4分多40张",那么应有60张8分。以"分"作为计算单位，此时邮票总值是

4×20+8×60=560.

比680少，因此还要增加邮票。为了保持"差"是40，每增加1张4分，就要增加1张8分，每种要增加的张数是

(680-4×20-8×60)÷(4+8)=10（张）.

因此4分有20+10=30（张），8分有60+10=70（张）.

例8一项工程，如果全是晴天，15天可以完成。倘若下雨，雨天比晴天多3天，

工程要多少天才能完成

解：类似于例3，我们设工程的全部工作量是150份，晴天每天完成10份，雨天每天完成8份.用上一例题解一的方法，晴天有

(150-8×3)÷(10+8)=7（天）.

雨天是7+3=10天，总共

7+10=17（天）.

答：这项工程17天完成。

请注意，如果把"雨天比晴天多3天"去掉，而换成已知工程是17天完成，由此又回到上一节的问题.差是3，与和是17，知道其一，就能推算出另一个。这说明了例7，例8与上一节基本问题之间的关系.

总脚数是"两数之和",如果把条件换成"两数之差",又应该怎样去解呢

例9鸡与兔共100只，鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只？

解一：假如再补上28只鸡脚，也就是再有鸡28÷2=14（只），鸡与兔脚数就相等，兔的脚是鸡的脚4÷2=2（倍），于是鸡的只数是兔的只数的2倍。兔的只数是

(100+28÷2)÷(2+1)=38（只）.

鸡是100-38=62（只）.

答：鸡62只，兔38只。

当然也可以去掉兔28÷4=7（只）.兔的只数是

(100-28÷4)÷(2+1)+7=38（只）.

也可以用任意假设一个数的办法。

解二：假设有50只鸡，就有兔100-50=50（只）.此时脚数之差是

4×50-2×50=100,

比28多了72.就说明假设的兔数多了（鸡数少了）.为了保持总数是100，一只兔换成一只鸡，少了4只兔脚，多了2只鸡脚，相差为6只（千万注意，不是2).因此要减少的兔数是(100-28)÷(4+2)=12（只）.

兔只数是50-12=38（只）.

另外，还存在下面这样的问题：总头数换成"两数之差",总脚数也换成"两数之差".

例10古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字。有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首？

解一：如果去掉13首五言绝句，两种诗首数就相等，此时字数相差

13×5×4+20=280（字）.

每首字数相差7×4-5×4=8（字）.

因此，七言绝句有280÷(28-20)=35（首）.

五言绝句有35+13=48（首）.

答：五言绝句48首，七言绝句35首。

解二：假设五言绝句是23首，那么根据相差13首，七言绝句是10首.字数分别是20×23=460（字），28×10=280（字），五言绝句的字数，反而多了

460-280=180（字）.与题目中"少20字"相差180+20=200（字）.

说明假设诗的首数少了。为了保持相差13首，增加一首五言绝句，也要增一首七言绝句，而字数相差增加8.因此五言绝句的首数要比假设增加200÷8=25（首）.五言绝句有23+25=48（首）.

七言绝句有10+25=35（首）.

在写出"鸡兔同笼"公式的时候，我们假设都是兔，或者都是鸡，对于例7，例9和例10三个问题，当然也可以这样假设。现在来具体做一下，把列出的计算式子与"鸡兔同笼"公式对照一下，就会发现非常有趣的事.

例7，假设都是8分邮票，4分邮票张数是

(680-8×40)÷(8+4)=30（张）.

例9，假设都是兔，鸡的只数是

(100×4-28)÷(4+2)=62（只）.

10，假设都是五言绝句,七言绝句的首数是

(20×13+20)÷(28-20)=35（首）.

首先，请读者先弄明白上面三个算式的由来，然后与"鸡兔同笼"公式比较，这三个算式只是有一处"-"成了"+".其奥妙何在呢

当你进入初中，有了负数的概念，并会列二元一次方程组，就会明白，从数学上说，这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事。

例11有一辆货车运输2000只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算，每只2角，如有破损，破损瓶子不给运费，还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6元，问这次搬运中玻璃瓶破损了几只？

解：如果没有破损，运费应是400元。但破损一只要减少1+0.2=1.2（元）.因此破损只数是(400-379.6)÷(1+0.2)=17（只）.

答：这次搬运中破损了17只玻璃瓶。

请你想一想，这是"鸡兔同笼"同一类型的问题吗

例12有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错（包含不答）1题倒扣1分；第二次15道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？

解一：如果小明第一次测验24题全对，得5×24=120（分）.那么第二次只做对30-24=6（题）得分是8×6-2×(15-6)=30（分）.

两次相差120-30=90（分）.

比题目中条件相差10分，多了80分。说明假设的第一次答对题数多了，要减少.第一次答对减少一题，少得5+1=6（分），而第二次答对增加一题不但不倒扣2分，还可得8分，因此增加8+2=10分。两者两差数就可减少6+10=16（分）.

(90-10)÷(6+10)=5（题）.

因此第一次答对题数要比假设（全对）减少5题，也就是第一次答对19题，第二次答对30-19=11（题）.

第一次得分5×19-1×(24-19)=90.

第二次得分8×11-2×(15-11)=80.

答：第一次得90分，第二次得80分。

解二：答对30题，也就是两次共答错

24+15-30=9（题）.

第一次答错一题，要从满分中扣去5+1=6（分），第二次答错一题，要从满分中扣去8+2=10（分）.答错题互换一下，两次得分要相差6+10=16（分）.

如果答错9题都是第一次，要从满分中扣去6×9.但两次满分都是120分。比题目中条件"第一次得分多10分",要少了6×9+10.因此，第二次答错题数是

(6×9+10)÷(6+10)=4（题）·

第一次答错9-4=5（题）.

第一次得分5×(24-5)-1×5=90（分）.

第二次得分8×(15-4)-2×4=80（分）.

习题二

1．买语文书30本，数学书24本共花83.4元。每本语文书比每本数学书贵0.44元。每本语文书和数学书的价格各是多少？

2．甲茶叶每千克132元，乙茶叶每千克96元，共买这两种茶叶12千克.甲茶叶所花的钱比乙茶叶所花钱少354元。问每种茶叶各买多少千克？

3．一辆卡车运矿石，晴天每天可运16次，雨天每天只能运11次.一连运了若干天，有晴天，也有雨天。其中雨天比晴天多3天，但运的次数却比晴天运的次数少27次.问一连运了多少天？

4．某次数学测验共20道题，做对一题得5分，做错一题倒扣1分，不做得0分。小华得了76分.问小华做对了几道题？

5．甲，乙二人射击，若命中，甲得4分，乙得5分；若不中，甲失2分，乙失3分。每人各射10发，共命中14发.结算分数时，甲比乙多10分。问甲，乙各中几发？

6．甲，乙两地相距12千米.小张从甲地到乙地，在停留半小时后，又从乙地返回甲地，小王从乙地到甲地，在甲地停留40分钟后，又从甲地返回乙地。已知两人同时分别从甲，乙两地出发，经过4小时后，他们在返回的途中相遇.如果小张速度比小王速度每小时多走1.5千米，求两人的速度。？

三、从"三"到"二"

"鸡"和"兔"是两种东西，实际上还有三种或者更多种东西的类似问题.在第一节例5和例6就都有三种东西。从这两个例子的解法，也可以看出，要把"三种"转化成"二种"来考虑.这一节要通过一些例题，告诉大家两类转化的方法。

例13学校组织新年游艺晚会，用于奖品的铅笔，圆珠笔和钢笔共232支，共花了300元.其中铅笔数量是圆珠笔的4倍。已知铅笔每支0.60元，圆珠笔每支2.7元，钢笔每支6.3元。问三种笔各有多少支

解：从条件"铅笔数量是圆珠笔的4倍",这两种笔可并成一种笔，四支铅笔和一支圆珠笔成一组，这一组的笔，每支价格算作

（0.60×4+2.7)÷5=1.02（元）.

现在转化成价格为1.02和6.3两种笔。用"鸡兔同笼"公式可算出，钢笔支数是

(300-1.02×232)÷(6.3-1.02)=12（支）.

铅笔和圆珠笔共

232-12=220（支）.

其中圆珠笔

220÷(4+1)=44（支）.

铅笔

220-44=176（支）.

答：其中钢笔12支，圆珠笔44支，铅笔176支。

例14商店出售大，中，小气球，大球每个3元，中球每个1.5元，小球每个1元。张老师用120元共买了55个球，其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多.问每种球各买几个

解：因为总钱数是整数，大，小球的价钱也都是整数，所以买中球的钱数是整数，而且还是3的整数倍。我们设想买中球，小球钱中各出3元.就可买2个中球，3个小球。因此，可以把这两种球看作一种，每个价钱是

(1.5×2+1×3)÷(2+3)=1.2（元）.

从公式可算出，大球个数是

(120-1.2×55)÷(3-1.2)=30（个）.

买中，小球钱数各是

(120-30×3)÷2=15（元）.

可买10个中球，15个小球。

答：买大球30个，中球10个，小球15个.

例13是从两种东西的个数之间倍数关系，例14是从两种东西的总钱数之间相等关系（倍数关系也可用类似方法），把两种东西合井成一种考虑，实质上都是求两种东西的平均价，就把"三"转化成"二"了。

例15是为例16作准备.

例15某人去时上坡速度为每小时走3千米，回来时下坡速度为每小时走6千米，求他的平均速度是多少

解：去和回来走的距离一样多。这是我们考虑问题的前提.

平均速度=所行距离÷所用时间

去时走1千米，要用20分钟；回来时走1千米，要用10分钟。来回共走2千米，用了30分钟，即半小时，平均速度是每小时走4千米.

千万注意，平均速度不是两个速度的平均值：每小时走(6+3)÷2=4.5千米。

例16从甲地至乙地全长45千米，有上坡路，平路，下坡路.李强上坡速度是每小时3千米，平路上速度是每小时5千米，下坡速度是每小时6千米。从甲地到乙地，李强行走了10小时；从乙地到甲地，李强行走了11小时.问从甲地到乙地，各种路段分别是多少千米

解：把来回路程45×2=90（千米）算作全程。去时上坡，回来是下坡；去时下坡回来时上坡.把上坡和下坡合并成"一种"路程，根据例15，平均速度是每小时4千米。现在形成一个非常简单的"鸡兔同笼"问题.头数10+11=21，总脚数90，鸡，兔脚数分别是4和5.因此平路所用时间是(90-4×21)÷(5-4)=6（小时）.

单程平路行走时间是6÷2=3（小时）.

从甲地至乙地，上坡和下坡用了10-3=7（小时）行走路程是：

45-5×3=30（千米）.

又是一个"鸡兔同笼"问题。从甲地至乙地，上坡行走的时间是：

(6×7-30)÷(6-3)=4（小时）.

行走路程是3×4=12（千米）.

下坡行走的时间是7-4=3（小时）.行走路程是6×3=18（千米）.

答：从甲地至乙地，上坡12千米，平路15千米，下坡18千米。

做两次"鸡兔同笼"的解法，也可以叫"两重鸡兔同笼问题".例16是非常典型的例题。

例17某种考试已举行了24次，共出了426题.每次出的题数，有25题，或者16题，或者20题。那么，其中考25题的有多少次

解：如果每次都考16题，16×24=384，比426少42道题.

每次考25道题，就要多25-16=9（道）.

每次考20道题，就要多20-16=4（道）.

就有

9×考25题的次数+4×考20题的次数=42.

请注意，4和42都是偶数，9×考25题次数也必须是偶数，因此，考25题的次数是偶数，由9×6=54比42大，考25题的次数，只能是0,2,4这三个数。由于42不能被4整除，0和4都不合适.只能是考25题有2次（考20题有6次）.

答：其中考25题有2次。

例18有50位同学前往参观，乘电车前往每人1.2元，乘小巴前往每人4元，乘地下铁路前往每人6元。这些同学共用了车费110元，问其中乘小巴的同学有多少位

解：由于总钱数110元是整数，小巴和地铁票也都是整数，因此乘电车前往的人数一定是5的整数倍.

如果有30人乘电车，

110-1.2×30=74（元）.

还余下50-30=20（人）都乘小巴钱也不够。说明假设的乘电车人数少了.

如果有40人乘电车

110-1.2×40=62（元）.

还余下50-40=10（人）都乘地下铁路前往，钱还有多(62>6×10).说明假设的乘电车人数又多了。30至40之间，只有35是5的整数倍.

现在又可以转化成"鸡兔同笼"了：

总头数50-35=15,

总脚数110-1.2×35=68.

因此，乘小巴前往的人数是

(6×15-68)÷(6-4)=11.

答：乘小巴前往的同学有11位。

在“三"转化为"二"时，例13，例14，例16是一种类型.利用题目中数量比例关系，把两种东西合并组成一种。例17，例18是另一种类型.充分利用所求个数是整数，以及总量的限制，其中某一个数只能是几个数值。对几个数值逐一考虑是否符合题目的条件.确定了一个个数，也就变成"二"的问题了。在小学算术的范围内，学习这两种类型已足够了.更复杂的问题，只能借助中学的三元一次方程组等代数方法去求解。

习题三

1．有100枚硬币，把其中2分硬币全换成等值的5分硬币，硬币总数变成79个，然后又把其中的1分硬币换成等值的5分硬币，硬币总数变成63个.求原有2分及5分硬币共值多少钱？

2．"京剧公演"共出售750张票得22200元。甲票每张60元，乙票每张30元，丙票每张18元.其中丙票张数是乙票张数的2倍。问其中甲票有多少张？

3．小明参加数学竞赛，共做20题得67分.已知做一题得5分，不答得2分，做错一题倒扣3分。又知道他做错的题和没答的题一样多.问小明共做对几题？

4．1分，2分和5分硬币共100枚，价值2元，如果其中2分硬币的价值比1分硬币的价值多13分。问三种硬币各多少枚？

注：此题没有学过分数运算的同学可以不做.

5．甲地与乙地相距24千米。某人从甲地到乙地往返行走.上坡速度每小时4千米，走平路速度每小时5千米，下坡速度每小时6千米。去时行走了4小时50分，回来时用了5小时.问从甲地到乙地，上坡，平路，下坡各多少千米？

6．某学校有12间宿舍，住着80个学生。宿舍的大小有三种：大的住8个学生，不大不小的住7个学生，小的住5人.其中不大不小的宿舍最多，问这样的宿舍有几间？

测验题

1．松鼠妈妈采松籽，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个。它一连几天采了112个松籽，平均每天采14个.问这几天当中有几天有雨？

2．有一水池，只打开甲水龙头要24分钟注满水池，只打开乙水龙头要36分钟才注满水池。现在先打开甲水龙头几分钟，然后关掉甲，打开乙水龙头把水池注满.已知乙水龙头比甲水龙头多开26分钟。问注满水池总共用了多少分钟？

3．某工程甲队独做50天可以完成，乙队独做75天可以完成.现在两队合做，但是中途乙队因另有任务调离了若干天。从开工后40天才把这项工程做完.问乙队中途离开了多少天？

4．小华从家到学校，步行一段路后就跑步。他步行速度是每分钟600，跑步速度是每分钟140米.虽然步行时间比跑步时间多4分钟，但步行的距离却比跑步的距离少400米。问从家到学校多远？

5．有16位教授，有人带1个研究生，有人带2个研究生，也有人带3个研究生.他们共带了27位研究生。其中带1个研究生的教授人数与带2,3个研究生的教授人数一样多.问带2个研究生的教授有几人？

6．某商场为招揽顾客举办购物抽奖。奖金有三种：一等奖1000元，二等奖250元，三等奖50元.共有100人中奖，奖金总额为9500元。问二等奖有多少名？

7．有一堆硬币，面值为1分，2分，5分三种，其中1分硬币个数是2分硬币个数的11倍.已知这堆硬币面值总和是1元，问5分的硬币有多少个？

四、答案

习题一

1．龟75只，鹤25只。

2．象棋9副，跳棋17副.

3．2分硬币92个，5分硬币23个。

应将总钱数2.99元分成2×4+5=13（份），其中2分钱数占2×4=8（份），5分钱数占5份。

4．2元与5元各20张，10元有10张.

2元与5元的张数之和是

(10×50-240)÷[10-(2+5)÷2]=40（张）.

5．甲先做了4天。

提示：把这件工程设为36份，甲每天做3份，乙每天做2份.

6．第一种路段有14段，第二种路段有11段。

第一种路段全长13千米，第二种路段全长9千米，全赛程281千米，共25段，是标准的"鸡兔同笼".

7．最多可买1角邮票6张。

假设都买4分邮票，共用4×15=60（分），就多余100-60=40（分）.买一张1角邮票，可以认为4分换1角，要多6分。40÷6=6……4，最多买6张.最后多余4分，加在一张4分邮票上，恰好买一张8分邮票。

习题二

1．语文书1.74元，数学书1.30元。

设想语文书每本便宜0.44元，因此数学书的单价是

(83.4-0.44×30)÷(30+24).

2．买甲茶3.5千克，乙茶8.5千克。

甲茶数=(96×12-354)÷(132+96)=3.5（千克）

3．一连运了27天。

晴天数=(11×3+27)÷(16-11)=12（天）

4．小华做对了16题.

76分比满分100分少24分。做错一题少6分，不做少5分.24分只能是6×4.

5．甲中8发，乙中6发。

假设甲中10发，乙就中14-10=4（发）.甲得4×10=40（分），乙得5×4-3×6=2（分）.比题目条件"甲比乙多10分"相差(40-2)-10=28（分），甲少中1发，少4+2=6（分），乙可增5+3=8（分）.

28÷(6+8)=2.

甲中10-2=8（发）.

习题三

1．295分

解：每2.5个2分可换1个5分，即每换1个5分，个数就减少1.5个。已知减少了100-79=21个，所以换成的5分的个数=21÷1.5=14个。也就是说，是用5×14=70分钱换成了5分，所以2分币是70÷2=35个。同理，每5个1分可换1个5分，即每换1个5分，个数就减少4个。已知减少了79-63=16个，所以换成的5分的个数=16÷4=4个。也就是说，用5×4=20分换成了5分，所以1分币是20÷1=20个。原有2分及5分硬币共价值：35×2+45×5=295分。

8鸡兔同笼公式

公式1：（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=鸡的只数

总只数－鸡的只数=兔的只数

公式2：（总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=兔的只数

总只数－兔的只数=鸡的只数

公式3：总脚数÷2—总头数=兔的只数

总只数—兔的只数=鸡的只数

公式4：鸡的只数=(4×鸡兔总只数-鸡兔总脚数）÷2兔的只数=鸡兔总只数-鸡的只数

公式5：兔总只数=（鸡兔总脚数-2×鸡兔总只数）÷2鸡的只数=鸡兔总只数-兔总只数

公式6：（头数x4-实际脚数）÷2=鸡

公式7：4×+2（总数－x）=总脚数（x=兔，总数－x=鸡数，用于方程）

公式8：鸡的只数：兔子的只数=兔子的脚数-（总脚数÷总只数）：（总脚数÷总只数）-鸡的脚数